$SL(3,\mathbb{Z})$ 模性与 $\mathcal{N}=4$ 超共形指标的新的 Cardy 极限

$1/16$ BPS 的 AdS$_5$ 黑洞的熵可以通过 $\mathcal{N}=4$ 超杨-米尔斯理论的超共形指标进行微观解释。一种计算方法是通过文献[1]中利用椭圆 $\Gamma$ 函数的“$S$ 变换”得到的指标公式的类 Cardy 极限。在本文中,我们推导了椭圆 $\Gamma$ 函数更一般的 $SL(3,\mathbb{Z})$ 模性质。然后我们利用这些性质得到了 $\mathcal{N}=4$ 超共形指标的一个三整数参数族的广义类 Cardy 极限。从这些极限中,我们获得了与原始 AdS$_5$ 黑洞形式相似的熵公式,仅差一个熵的整体重标度。我们在场论和引力两方面对此进行了解释。最后,我们评论了我们的工作如何暗示 Farey 尾向四维的推广。