周期度量网格的奇异极限

我们研究 $d$ 维周期度量网格上非线性 Schrödinger 基态在边长趋于零极限下的渐近行为。我们证明此类基态的适当分段仿射扩张在 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 中强收敛于 $\mathbb{R}^d$ 上相应的基态。作为该收敛结果的应用，我们推导了网格上基态的定性性质以及能量固定质量临界点的重数结果。此外，我们比较了 $\mathbb{R}^d$ 与网格上 $d$ 维 Gagliardo-Nirenberg 不等式的最优常数。对于 $L^2$-临界与超临界幂，我们证明网格上此类常数的值与 $\mathbb{R}^d$ 上的值严格相关，但不同于 $\mathbb{R}^d$，网格上的常数未被取到。这些结果的证明结合了纯变分论证与网格上新的 Gagliardo-Nirenberg 不等式。