使用流图同时计算哈密顿系统中 whiskered torus 及其 whiskers

我们考虑自主哈密顿系统并提出一种算法，同时计算部分超声动不变环面（whiskered torus）以及它们稳定和不稳定流形的高阶展开。此类 whiskered torus 已被证明对于相空间中的传输现象至关重要。例如，通过跟随其不变流形可获得零成本的太空任务设计轨迹。我们详细阐述了当（不）稳定方向为一维时的情形。计算环面及其不变流形的策略基于参数化方法。我们为环面及其 whiskers 的参数化表示建立函数方程，表明它们是不变的。这一方程自然离散化为傅里叶-泰勒级数或等效的Taylor级数网格。通过使用返回图，我们化简为研究 $n-1$ 维函数，其中 $n$ 为自由度数量（相空间为 $2n$ 维）。随后，我们实现一个二次收敛的Newton型方法。我们方法的关键优势在于，利用来自哈密顿问题性质的几何恒等式，算法存储需求小，每步运算量低，非常高效。同时计算环面和 whiskers 的做法提高了算法的效率和稳定性。我们在圆形受限三体问题中实现了该算法并进行了大量数值实验。