须状不变环面及其相关流形的计算：新快速算法

在本文中，我们提出了用于计算哈密顿动力学中若干不变对象的高效算法。更准确地说，我们考虑了 KAM 环面（即环面的微分同胚副本，使得其上的运动共轭于刚性旋转），包括拉格朗日环面（具有最大维数）和须状环面（即具有双曲方向的环面，这些方向与环面的切向以及辛共轭一起张成整个切空间）。在须状环面的情况下，我们还提出了算法来计算不变分裂以及与该分裂相关的不变流形。我们针对离散时间情况和微分方程情况分别进行了介绍。这些算法基于牛顿法来求解适当选取的表示不变性的泛函方程。这些算法是高效的：如果我们用 $N$ 个元素对对象进行离散化，牛顿法的一步只需要 O(N) 的存储量和 $O(N \ln(N))$ 的运算量。此外，如果我们考虑的对象维数为 $\ell$，我们只需要计算 $\ell$ 个变量的函数，而与相空间的维数无关。这些算法不要求系统以作用量-角变量表示，也不要求其接近可积。这些算法有严格的后验界作为支撑，该界表明如果方程以较小的残差求解，并且一些显式可计算的条件数不太大，那么就存在一个接近计算解的真实解。这些算法既适用于主环面（即不可缩环面），也适用于次环面（即可缩为较低维环面的环面，例如岛屿）。它们已经被实现。我们将在别处报告实现的技术细节和运行结果。