哈密顿系统中拉格朗日环面的 QP 时变 KAM 理论的构造性方法
动力系统
2025-03-14 v1 经典分析与常微分方程
摘要
本文证明了后验格式的 KAM 定理，利用参数化方法研究非自治哈密顿系统中的不变环面，该系统具有 n 个自由度且依赖时间呈周期或准周期（QP）变化，具有 ℓ 个外部频率。该系统由描述在 2n 维相空间 M 中的哈密顿函数刻画，M 还依赖于 ℓ 个角度 φ ∈ T^ℓ。我们利用了扩展相空间 M × T^ℓ 的纤维化结构。因此，环面的参数化需要最后 ℓ 个变量，即 φ，而前 2n 个分量由不变方程确定。这一约化将未知参数化问题的维度从 2(n+ℓ) 降至 2n。我们采用拟牛顿方法来证明 KAM 定理。该迭代方法以近似不变环面的初始参数化开始，即近似满足不变方程。通过应用修正项来二次减小不变方程误差，对近似进行细化。在满足合适的丢番图 (γ,τ) 条件以及扭转的非退化条件时，该过程收敛到大小为 ρ∞ 的复带中的环面。鉴于证明的性质，这提供了一个可在计算机上有效实现的数值方法，细节在配套论文 [CHP25] 中给出。该方法利用精度和效率来计算不变环面。
引用
@article{arxiv.2503.09740,
title = {Constructive Approaches to QP-Time-Dependent KAM Theory for Lagrangian Tori in Hamiltonian Systems},
author = {Renato Calleja and Alex Haro and Pedro Porras},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.09740},
year = {2025}
}
备注
arXiv admin note: text overlap with arXiv:1711.05515