可积哈密顿系统的时间非周期扰动

我们考虑哈密顿量 $H=H^{0}(p)+\kappa H^{1}(p,q,t)$， $(p,q)\in {\mathbb{R}}^{n} \times {\mathbb{T}}^n$， $t\in{\mathbb{R}}$，其中 $\kappa \in {\mathbb{R}}$ 为小扰动参数，$p$、$q$ 分别为作用量和角变量。该哈密顿量通过扩展相空间使 $t$ 成为因变量并加入其共轭变量 $\tau$，从而生成一个自治向量场。本文考察一个时间非周期扰动 $H^{1}(p,q,t)$，其在 $t\to \infty$ 时趋于时间无关扰动或时间拟周期扰动，并证明了一个KAM型定理。扩展相空间导致在小足够扰动下扩展自治系统的柱面而非通常的环面得以保持。为证明该定理，我们将哈密顿量 $H$ 变换为依赖于更少角变量（尽可能为零）的正规形。此变换通过近恒等正则变换完成。正则变换利用Lie级数形式并求解生成函数构造。由于非周期时间依赖性，通常用于获得生成函数的Fourier级数方法不再适用。转而我们使用Fourier变换方法求解生成函数，并利用等能非退化条件，该条件导致与每个柱面相关的频率发生偏移。