$\mathbb{R}^d$上热方程零能控性的尖锐几何条件及控制代价的协调估计

在本注记中，我们研究$\mathbb{R}^d$（$d\geq 1$）上以控制集$\omega\subset\mathbb{R}^d$的热方程的控制问题。我们给出$\omega$上使得热方程在任意正时间内零能控的一个充要条件（称为$(\gamma, a)$-\emph{厚度}）。我们给出了控制代价的估计，显式依赖于控制集的特征几何参数。最后，我们导出了具有周期、Dirichlet或Neumann边界条件的立方体上热方程的控制代价估计，其中控制集同样假设为厚的。我们表明该控制代价估计与$\mathbb{R}^d$情形协调一致。