具有内部点质量与变系数的一维热方程的零边界能控性

在本文中，我们考虑一个线性混合系统，由两个非均匀杆通过一点质量连接而成，并由方程\bea\left\{ \begin{array}{ll} \rho_{1}(x)u_{t}=(\sigma_{1}(x)u_{x})_{x}-q_{1}(x)u,& x\in(-1,0),~t>0, \rho_{2}(x)v_{t}=(\sigma_{2}(x)v_{x})_{x}-q_{2}(x)v,& x\in(0,1), ~~~t>0, M z_{t}(t)=\sigma_{2}(0)v_{x}(0,t)-\sigma_{1}(0)u_{x}(0,t), &t>0, \end{array} \right. \eea 生成，左端 $x=-1$ 为 Dirichlet 边界条件，右端 $x=1$ 施加边界控制。我们证明该系统在 Dirichlet 或 Neumann 边界控制下是零能控的。我们的方法主要基于详细的谱分析以及矩方法。特别地，我们表明在两种情形（Dirichlet 或 Neumann 边界控制）下相关的谱间隙均为正，而对系数 $\rho_{i}$, $\sigma_{i}$ 和 $q_{i}$ $(i=1,2)$ 除正则性外无需进一步条件。