强正则区域内平均场控制的尖锐收敛率

我们研究了平均场控制（也称为 McKean-Vlasov 动力学的最优控制）的收敛问题。我们假设数据是光滑但非凸的，因此极限值函数 $\mathcal{U} :[0,T] \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d) \to \mathbb{R}$ 是 Lipschitz 连续的，但可能不可微。在此设定下，第一作者和最后作者最近确定了 $[0,T] \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 的一个开稠密子集 $\mathcal{O}$，在该子集上 $\mathcal{U}$ 是 $\mathcal{C}^1$ 的，并以经典意义求解相关的无限维 Hamilton-Jacobi 方程。在本文中，我们利用这些正则性结果及其一些非平凡的推广，推导出了尖锐的收敛率。特别地，我们证明了 $N$-粒子控制问题的值函数以 $1/N$ 的速率收敛于 $\mathcal{U}$，且在对于某个 $p > 2$ 在 $p$-Wasserstein 空间中紧致的 $\mathcal{O}$ 的子集上是一致收敛的。在最优反馈控制层面也建立了类似的结果。即使 $\mathcal{U}$ 是光滑的，$1/N$ 也是此设定下的最优速率，而一般而言，已知的全局最优收敛速率慢于 $1/N$。因此，我们的结果表明 $\mathcal{O}$ 内部的收敛速率快于外部。作为最优反馈收敛的推论，我们获得了从独立同分布初始条件开始的 $N$-粒子问题最优轨迹的集中不等式。