扩展平均场控制中时间离散化的收敛速率

分段常数控制近似为设计连续时间控制问题的数值方案提供了一个实用框架。我们分析了此类近似在扩展平均场控制（MFC）问题中的精度，其中动力学和成本依赖于状态与控制的联合分布。对于线性凸扩展MFC问题，我们证明最优控制在时间上是$1/2$-Hölder连续的。利用这一正则性，我们证明连续时间问题的最优成本可以通过分段常数控制以$1/2$阶近似，而最优控制本身则可以以$1/4$阶近似。对于一般的扩展MFC问题，我们进一步证明，在值函数具有足够正则性的条件下，值函数以改进的一阶速率收敛，这与无平均场相互作用的经典控制问题的最佳已知速率相匹配，并且与Cucker-Smale模型的MFC数值观测结果一致。