深度学习中受控粒子系统的收敛性分析：从有限样本到无限样本

本文处理一类神经随机微分方程（neural SDEs），并研究当样本量趋于无穷时相关采样最优控制问题的极限行为。具有 $N$ 个样本的神经 SDEs 可与具有集中控制的 $N$ 粒子系统相联系。我们分析了对应于 $N$ 粒子系统的 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程，并建立了关于 $N$ 的一致正则性结果。该一致正则性估计是通过随机最大原理和倒向随机 Riccati 方程的分析获得的。利用这些一致正则性结果，我们证明了当样本量 $N$ 趋于无穷时，神经 SDEs 目标泛函极小值与最优参数的收敛性。极限对象可由定义在 Borel 概率测度的 Wasserstein 空间上的适当函数来刻画。此外，还得到了定量的收敛速率。