具有公共噪声和退化个体噪声的平均场控制的定量收敛性

我们考虑在具有公共噪声和退化个体噪声的平均场控制设定下的收敛问题。我们的主要结果建立了有限维值函数 $V^N$ 向平均场值函数 $U$ 收敛的速率。在个体噪声为常数（但可能退化）的情况下，我们获得了 $N^{-1/(d+7)}$ 的速率，该速率接近于推测的最优速率 $N^{-1/d}$，并且即使在非退化设定下也改进了现有文献的结果。在个体噪声既可非常数又可退化的情况下，论证更为复杂，我们转而求得了 $N^{-1/(3d + 19)}$ 的速率。我们的证明策略建立在 [Daudin, Delarue, Jackson - JFA, 2024] 针对非退化个体噪声和零公共噪声情形所开创的工作之上，即通过几乎是 $U$ 所求解的无穷维 Hamilton-Jacobi 方程次解的更光滑函数来逼近 $U$。由于噪声结构不同，为了构造合适的磨光方案，需要若干新的步骤。除了主要收敛结果外，我们还研究了零个体噪声的情形，并表明在该情形下可通过纯控制理论论证获得更优结果。我们还提供了示例以证明在零噪声设定下值函数对容许控制的选择具有敏感性。