Wasserstein空间中HJB方程的有限维投影

本文延续了关于具有共同噪声的受控相互作用粒子系统的研究，始于[W. Gangbo, S. Mayorga and A. Świech, SIAM J. Math. Anal. 53 (2021), no. 2, 1320--1356]和[S. Mayorga and A. Świech, SIAM J. Control Optim. 61 (2023), no. 2, 820--851]。首先，我们将上述先前工作中关于加性噪声的结果推广到乘性噪声的情形：(i) 我们将对应于$n$个粒子控制问题的值函数$u_n$的收敛性推广到对应于适当定义的无限维控制问题的值函数$V$；(ii) 在某些附加假设下，我们证明了$V$在空间变量上的$C^{1,1}$正则性。本工作的第二个主要贡献是证明了若$DV$连续（这特别包含了先前证明的空间变量中$C^{1,1}$正则性的情形），值函数$V$精确地投影到值函数$u_n$上。利用这一投影性质，我们证明了有限维问题的最优控制对应于无限维问题的最优控制，反之亦然。对于线性状态方程，我们能够通过在Wasserstein空间中使用逼近技术，证明在成本泛函系数的松弛假设下$V$精确地投影到值函数$u_n$上，从而涵盖了$V$可能不可微的情形。