Hilbert 空间中相互作用粒子系统的随机最优控制与应用

受随机演化方程支配的相互作用粒子的最优控制是一项开放的研究领域。 此类系统自然出现于每个粒子由随机偏微分方程、路径依赖随机微分方程（如随机延迟微分方程或随机 Volterra 积分方程）或部分观测随机系统建模时。 本文旨在构建关于粒子数趋于无穷大时的极限理论。 我们证明了有限粒子系统价值函数 $u_n$ 的收敛性， 其极限函数 $\mathcal{V}$ 为相应均值场 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程在概率测度空间中的唯一 $L$ -粘性解， 并确认其提升而得值函数 $U$ 与所谓“提升”极限最优控制问题的价值函数一致。 在适当的额外假设下， 我们证明了 $U$ 的 $C^{1,1}$ -正则性， 并证明 $\mathcal{V}$ 正确投影至各 $u_n$， 且粒子系统的最优（或最优反馈）控制对应于提升控制问题在相应初始条件下启动时的最优（或最优反馈）控制。 鉴于目前在 Hilbert 空间中随机演化方程的相互作用粒子系统的随机最优控制问题尚无此类结果， 我们的方法是首次实现此类理论。 我们将所发展的理论应用于经济学中的问题， 其中粒子由随机延迟微分方程和随机偏微分方程建模。