Hilbert空间中奇异随机控制问题的变分不等式与光滑拟合原理

我们考虑一类无限维奇异随机控制问题。这些问题可以被视为空间单调追随者问题，并在生产和气候转型的空间模型中有应用。设 $(D,\mathcal{M},\mu)$ 是一个有限测度空间，并考虑Hilbert空间 $H:=L^2(D,\mathcal{M},\mu; \mathbb{R})$。设 $X$ 是某个合适完备概率空间上的 $H$ 值随机过程，其演化由自伴线性算子 $\mathcal{A}$ 驱动的SPDE决定，并受到柱形布朗运动的影响。$X$ 的演化通过一个 $H$ 值控制进行线性控制，该控制由作用方向和强度组成，是一个适应于底层滤过的实值右连续非减随机过程。目标是在无限时间范围内最小化一个折扣凸成本泛函。通过结合半凹函数的性质和粘性理论技术，我们首先证明了该问题的值函数 $V$ 是相应动态规划方程（此处形式为带有梯度约束的变分不等式）的一个 $C^{1,\mathrm{Lip}}(H)$-粘性解。然后，通过允许决策者仅选择控制强度，并要求给定的控制方向 $\hat{n}$ 是线性算子 $\mathcal{A}$ 的特征向量，我们建立了方向导数 $V_{\hat{n}}$ 属于 $C^1(H)$ 类，因此 $V$ 在受控方向上满足二阶光滑拟合原理。这一结果是通过利用与最优停止问题的联系，并结合凸分析和粘性理论的结果与技术得到的。