Hamilton-Jacobi-Bellman 方程在 Wasserstein 空间上有限维近似的误差估计

本文研究的是在 Wasserstein 空间 $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上设有第二个阶项的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程。我们不假设哈密顿量对动量变量具有凸性，这意味着我们不能依赖于均场控制所基于的表示公式。在此背景下，Gangbo、Mayorga 和 \'Swi\k{e}ch 通过粘性解方法表明，Wasserstein 空间上的 HJB 方程可由一序列有限维 HJB 方程逼近。我们的主要贡献是量化这一收敛结果。证明涉及变量双重化 argument，这利用 P.L. Lions 对 Wasserstein 空间中 HJB 方程的希尔伯特方法，而非使用在特定噪声下获得类似结果的光滑度量。在一维情况下，变量双重化 argument 由于一维最优传输的刚性结构而相对简单；但在更高维中，论证显然更为复杂，并且依赖于关于概率测度“同时量化”的若干估计。