Hamilton-Jacobi 方程的随机粘性逼近与方差缩减
数值分析
2023-07-06 v3 统计力学
数值分析
最优化与控制
概率论
摘要
我们考虑高维扩散自由能类量的计算，此时有必要借助蒙特卡洛模拟。这类随机计算通常方差很大，尤其在低噪声情形下，因为期望值由观测值达到很大值的稀有轨迹所主导。尽管重要性采样或轨迹倾斜如今已成为降低此类估计量方差的标准技术，但用于证明给定控制能缩减方差的定量准则十分匮乏，且往往不适用于实际情形。本工作的目标是提供一个定量准则，用于评估给定偏置是否缩减方差以及缩减的阶数。为此，我们依赖于最近引入的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程随机解概念。基于该工具，我们引入 HJB 方程的 k-随机粘性逼近 (SVA) 概念。接着我们证明，此类近似解与在 log 尺度上相对方差为 k-1 阶的估计量相关联。特别地，由 1-SVA 构建的采样方案在噪声趋于零时具有有界方差。最后，为表明我们定义的相关性，我们给出了一阶与二阶随机粘性逼近的实例，并以数值实验印证了我们的理论发现。
引用
@article{arxiv.2111.10819,
title = {Stochastic viscosity approximations of Hamilton-Jacobi equations and variance reduction},
author = {Grégoire Ferré},
journal= {arXiv preprint arXiv:2111.10819},
year = {2023}
}