与相互作用粒子系统和随机矩阵相关的弗雷德holm普夫affian的尖锐渐近性

自Mark Kac的开创性论文以来，已知弗雷德holm行列式的渐近性可用概率方法研究。我们通过研究描述非厄米随机矩阵与湮灭布朗运动统计的弗雷德holm普夫affian，展示了Kac方法的效力。即，我们建立如下两个结果。首先，令 $\sqrt{N}+\lambda_{max}$ 为具有独立 $N(0,1)$ 项（‘实Ginibre矩阵’）的随机 $N\times N$ 矩阵的最大实特征值。考虑平移最大实特征值 $\lambda_{max}$ 的极限 $N\rightarrow \infty$ 分布 $\mathbb{P}[\lambda_{max}<-L]$。则 $$\lim_{L\rightarrow \infty} e^{\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\zeta\left(\frac{3}{2}\right)L} \mathbb{P}\left(\lambda_{max}<-L\right) =e^{C_e},$$ 其中 $\zeta$ 为黎曼zeta函数且 $$C_e=\frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{4\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \left(-\pi+\sum_{m=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{m(n-m)}}\right).$$ 其次，令 $X_t^{(max)}$ 为从 $\mathbb{R}_{-}$ 每点出发的湮灭布朗运动（ABM）系统在时刻 $t$ 最右粒子的位置。则 $$\lim_{L\rightarrow \infty} e^{\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\zeta\left(\frac{3}{2}\right)L} \mathbb{P}\left(\frac{X_{t}^{(max)}}{\sqrt{4t}}<-L\right) =e^{C_e}.$$ 这些陈述是我们先前结果的尖锐对应，通过计算出相应弗雷德holm普夫affian渐近展开中 $L^{0}$ 阶项而得以改进。