大型对称化随机游走系统的渐近 Feynman-Kac 公式

我们研究格点 $\Z^d$ 上 $N$ 个随机过程在有限时间区间 $[0,\beta]$ 上、在对称化测度下的较大偏差原理；该测度下所有初始点与终止点由随机置换均匀给定。即，给定 $N$ 个元素的置换 $\sigma$ 与 $N$ 个初始点向量 $(x_1,...,x_N)$，我们让随机过程终止于 $(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(N)})$，然后对所有可能的置换与初始点按初始分布加权求和。存在一种两层级随机机制，我们证明了在该对称化测度下经验路径测度均值、路径均值与占据局部时间均值的两层级较大偏差原理。该对称化测度不能写为任何单个随机过程分布的乘积。我们利用表示某些迹类算子迹的 Feynman-Kac 公式，给出这些结果在量子统计力学中的若干重要应用。特别地，我们证明了具有 Bose-Einstein 统计与平均场相互作用的量子自旋系统的非交换 Varadhan 引理。$N$ 个简单随机游走的占据局部时间均值在 $N\to\infty$ 极限下（但有限时间 $\beta$）的较大偏差原理特例以 Donsker-Varadhan 速率函数为速率函数。我们给出了这一惊人结果在量子统计力学中的解释。