关于滞后费曼-卡茨公式的粒子近似

本文研究了与费曼-卡茨公式相关的极限不变测度的数值近似。这些公式以离散时间形式表达，并与一个马尔可夫链和一个势函数相关联。这里考虑的典型应用是计算与非负算子相关的特征值，例如在物理学或稀有事件的粒子模拟中遇到的问题。我们聚焦于这种不变测度的一种新颖的“滞后”近似，它基于引入与一个正算子迭代 $l \in\mathbb{N}$ 次相关的费曼-卡茨时间平均边缘分布的比率；即一个滞后的费曼-卡茨公式。该估计量及其使用扩散蒙特卡洛（DMC）的近似已在物理学文献中被广泛采用。简而言之，DMC 是一种迭代算法，涉及 $N\in\mathbb{N}$ 个并行模拟的粒子或行走者，它们经历采样和重采样操作。在这项工作中，我们证明，对于滞后费曼-卡茨公式的 DMC 近似，当时间参数（迭代次数）趋于无穷大时，其 $\mathbb{L}_1$-误差几乎必然具有一个特征，且该误差至多为 $\mathcal{O}(\exp\{-\kappa l\}/N)$，其中 $\kappa>0$。此外，我们还证明了一个非渐近时间且时间一致的 $\mathbb{L}_1$-界，其为 $\mathcal{O}(l/\sqrt{N})$。我们还证明了一个新的中心极限定理，以刻画精确的渐近时间方差。这一分析表明，物理学中使用的策略，即用较小的 $N$ 和 $l$ 运行 DMC 足够长的时间，在数学上是合理的。我们的结果也为实践中应如何选择 $N$ 和 $l$ 提供了建议。我们强调，这些结果不限于物理应用；它们与费曼-卡茨公式粒子模拟的一般问题具有广泛的相关性。