有序指数矩阵的概率表示：向量值薛定谔半群与安德森局域化的组合学

我们给出矩阵有序指数的一个基本（但似乎未知）概率表示的两个应用，该表示推广了有限维的 Feynman-Kac 公式以及有限状态空间上两个连续时间马尔可夫过程之间的测度变换公式。我们的第一个也是主要的应用是一类直线上向量值薛定谔算子的新 Feynman-Kac 公式，其由两种随机源驱动：通常的布朗运动，以及有限状态空间上的连续时间马尔可夫过程。这些公式的一个重要特征——也是我们动机的核心——是它们能够在矩阵势函数包含连续高斯噪声时计算半群核的联合矩。特别地，我们的矩公式为 Bloemendal 与 Virág（Ann. Probab., 44(4):2726--2769, 2016）的多变量随机 Airy 算子的 Feynman-Kac 核的联合矩应当是什么提供了新的见解；我们为此给出了一个精确的猜想，并将在后续论文中探讨。我们的第二个应用是针对薛定谔方程 $\partial_t\Psi=-\mathsf i\mathcal H(t)\Psi$（含时变哈密顿量 $\mathcal H(t)$）解的模方期望 $\mathbf E\big[|\Psi(t,x)|^2\big]$ 的 Feynman-Kac 公式。由此我们证明，当取 $\mathcal H(t)=-\Delta+q(t,x)$ 限制于 $\mathbb Z^d$ 内有限盒子中，其中 $q(t,x)$ 为可能时变的的高斯过程时，$\mathbf E\big[|\Psi(t,x)|^2\big]$ 可写为涉及随机游走自交与互交的相对简单的期望。特别地，该公式暗示了一种统一的组合机制，可解释时变与时独立噪声下局域化的出现。