Lotka-Volterra 相互作用系统的分离解

本文讨论关于系统 $$-\Delta w_1 - \varepsilon w_1 = \mu_{1} w_1^{p} + \beta w_1 w_2\ \text{in } \Omega,\ -\Delta w_2 - \varepsilon w_2 = \mu_{2} w_2^{p} + \beta w_1 w_2 \ \text{in } \Omega,\ w_1 = w_2 = 0 \ \text{on } \partial \Omega,$$ 的正解的存在性，其中 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{N}$，$N \ge 4$，$p ={N+2\over N-2}$，且 $\varepsilon$ 为正且充分小。相互作用系数 $\beta = \beta(\varepsilon) \to 0$ 当 $\varepsilon \to 0$。我们构建该系统的一族分离解，其中每个分量在 $\varepsilon \to 0$ 时在 Robin 函数的不同临界点处发生爆炸。该系统因其特定耦合形式缺乏变分形式，导致在亚临界、临界和超临界情形下行为本质不同，并需要恰当的函数空间来完成构造。