二阶宇宙学扰动. III. 辐射主导阶段中标量-标量耦合所产生的扰动

我们研究辐射主导(RD)阶段 Robertson-Walker (RW) 时空在同步坐标下的二阶标量、矢量和张量度规扰动。主导辐射由应力张量 $T_{\mu\nu}=(\rho+p)U_\mu U_\nu+g_{\mu\nu}p$ 且 $p= c^2_s \rho$ 描述的相对论性流体建模,并假定一阶速度无旋。我们分析了一阶扰动的解,二阶扰动的解基于该解。我们证明一阶张量模以光速传播且为真正的辐射模,而标量与矢量模则不是。二阶扰动爱因斯坦方程包含一阶度规扰动的各种耦合,本文考虑标量-标量耦合。我们将二阶爱因斯坦方程分解为二阶标量、矢量和张量扰动的演化方程以及能量与动量约束。耦合项与流体应力张量共同作为二阶度规扰动的有效源。还需应力张量协变守恒方程以确定 $\rho$ 与 $U^\mu$。通过解析求解该组至二阶的方程,我们得到所有度规扰动、密度对比与速度的二阶积分解。要在应用中使用这些解,需进行七类数值积分。我们执行了同步坐标间至二阶的剩余规范变换,并辨识出二阶解的规范不变模。