Scheiderer 动机与等变高阶拓扑斯理论

我们通过 Claus Scheiderer 在研究 étale 上同调中 2-挠现象时引入的 $b$-拓扑，给出 $C_2$-等变稳定同伦理论的代数几何解释。为此，我们首先重温并拓展 Scheiderer 关于等变拓扑斯理论的工作：通过函子将带 $G$-作用的 $\infty$-拓扑斯 $\mathscr{X}$ 关联到可呈现稳定 $\infty$-范畴 $\mathrm{Sp}^G(\mathscr{X})$，当 $\mathscr{X}$ 为终结 $G$-$\infty$-拓扑斯时恢复真 $G$-谱的 $\infty$-范畴 $\mathrm{Sp}^G$。给定满足 $1/2 \in \mathcal{O}_X$ 的概型 $X$，我们的构造特化为产生带转移的“$b$-层”的 $\infty$-范畴 $\mathrm{Sp}^{C_2}_b(X)$，即 $X$ 的小 étale site 上带沿扩张 $X[i] \rightarrow X$ 某些转移的谱的 $b$-层；若 $X$ 为实闭域的谱，则 $\mathrm{Sp}^{C_2}_b(X)$ 恢复 $\mathrm{Sp}^{C_2}$。在一大类概型上，我们证明在 $p$-完备后，我们的构造组装为一个满足完整六函子形式主义的预动机函子。随后我们引入动机谱 $\infty$-范畴 $\mathrm{SH}(X)$（Morel-Voevodsky 意义下）的 $b$-变体 $\mathrm{SH}_b(X)$，并通过融合 Tom Bachmann 的 étale 与实 étale 动机刚性定理，产生自然等价 $\infty$-范畴 $\mathrm{SH}_b(X)^{\wedge}_p \simeq \mathrm{Sp}^{C_2}_b(X)^{\wedge}_p$。这涉及 $C_2$-Tate 构造的纯代数几何构造，其本身可能具有独立意义。最后作为应用，我们推导了一个“$b$-刚性”定理，利用 Segal 猜想证明 2-完备 $b$-动机球谱的 étale 下降，并构造了 Heller-Ormsby 的 $C_2$-Betti 实现函子的参数化版本。