非交换动机 II:K-理论与非交换动机

我们继续 arXiv:1206.3645 中启动的工作，在该工作中我们引入了一个新的稳定对称幺半 $(\infty,1)$-范畴 $SH_{nc}$，它编码了 Kontsevich 非交换空间的动机稳定同伦论，并获得了一个规范的保幺半余极限函子 $SH\to SH_{nc}$，将该新理论与编码 Morel-Voevodsky 稳定动机 $\mathbb{A}^1$ 理论的 $(\infty,1)$-范畴联系起来。对于概形 $X$，此映射恢复了完美复形的 dg-导出范畴 $L_{pe}(X)$。在本续篇中，我们致力于研究 dg-范畴的不同代数 $K$-理论变体。如同交换情形一样，这些变体可被理解为非交换光滑空间范畴上的谱值 $\infty$-预层，因此在适当局部化后提供了 $SH_{nc}$ 中的对象。我们的第一个主要结果是将 Schlichting 引入的 dg-范畴的非连通 $K$-理论描述为连通 $K$-理论的非交换 Nisnevich 层化。特别地，由此可知其进一步的 $\mathbb{A}^1$-局部化是 $SH_{nc}$ 中的一个对象。作为 A. Blanc 博士论文近期结果的一个推论，我们证明了该对象是幺半结构的单位元。利用这一点，我们获得了 Kontsevich 猜想的精确证明，该猜想声称 $K$-理论给出了非交换动机中正确的映射空间。作为第二个推论，我们获得了比较映射 $SH\to SH_{nc}$ 通过 $Mod_{KH}(SH)$ 的分解——即 $SH$ 中代表概形同伦不变代数 $K$-理论的交换代数对象 $KH$ 上的模的 $(\infty,1)$-范畴。如果 $k$ 是一个允许奇点消解的域，则该分解是完全忠实的，因此在动机层面上，过渡到非交换世界不会丢失任何信息（在 $K$-理论以下）。