阿贝尔三维簇的 Sato-Tate 群
数论
2023-07-21 v5 代数几何
摘要
给定一个数域上的阿贝尔簇，其 Sato-Tate 群是一个紧李群，据猜想它控制该阿贝尔簇 L-函数的欧拉因子的分布。Fit\'e、Kedlaya、Rotger 和 Sutherland 先前已证明，作为数域上阿贝尔曲面的 Sato-Tate 群出现的群（模共轭）有 52 个；我们在此证明，对于阿贝尔三维簇，有 410 个可能的 Sato-Tate 群，其中 33 个关于有限指数包含是极大的。我们利用 Sato-Tate 群的霍奇理论构造、Blichfeldt、Dickson 和 Miller 对 3 次有限线性群的分类，以及对 Shimura 的 CM 型理论的细致分析（排除了 23 个候选群）来枚举候选群；我们使用 Gap、SageMath 和 Magma 中的大量计算进行了交叉验证。为证明这 410 个群都出现，我们展示了实现这 33 个极大群各自的阿贝尔三维簇的显式例子；我们还计算了相应分布的矩，并从数值上确认它们与关联 L-函数的统计一致。
引用
@article{arxiv.2106.13759,
title = {Sato-Tate groups of abelian threefolds},
author = {Francesc Fité and Kiran S. Kedlaya and Andrew V. Sutherland},
journal= {arXiv preprint arXiv:2106.13759},
year = {2023}
}
备注
Minor changes; 93 pages; 13 tables. To appear in Memoirs of the American Mathematical Society