genus 2 中的 Sato-Tate 分布与 Galois 自同态模

对于数域 $k$ 上的阿贝尔曲面 $A$，我们研究了 $A$ 的 L-函数归一化 Euler 因子的极限分布。预期该分布对应于取某个 USp(4) 闭子群中均匀随机矩阵的特征多项式；该 Sato-Tate 群可从 $A$ 的任何 Tate 模上的 Galois 作用获得。我们证明 Sato-Tate 群仅限于共轭意义下的特定 55 个群列表。随后，我们根据 $A_{\bar{Q}}$ 自同态生成的 $\mathbb{R}$-代数上的 Galois 模结构（即 Galois 型）对 $A$ 进行分类，并建立了与 Sato-Tate 群分类的匹配；这表明对于合适的 $A$ 和 $k$，作为 Sato-Tate 群出现的群在共轭意义下最多有 52 个，其中 34 个可出现在 $k = \mathbb{Q}$ 的情况。最后，我们展示了表现出每种 Galois 型的超椭圆曲线 Jacobian 的实例（尽可能在 $\mathbb{Q}$ 上），并通过比较矩统计量观察到与预期 Sato-Tate 分布的数值一致性。