III 型阿贝尔簇的挠率

设 $A$ 为定义于数域 $K$ 上的阿贝尔簇。在有限扩张 $L$ 上理性的挠点个数，关于 $L$ 在 $K$ 上的次数 $[L:K]$ 有多项式界。在以下三个条件下，我们依据阿贝尔子簇的维数及其自同态环，计算出该界的最优指数。三个假设如下：$(1)$ $A$ 在几何上同产于按 Albert 分类的 I、II 或 III 型单阿贝尔簇之积；$(2)$ $A$ 为“Lefschetz 型”，即 Mumford-Tate 群为与自同态环交换的辛或正交相似变换群；$(3)$ $A$ 满足 Mumford-Tate 猜想。该结果对于具有特定相对维数的 I、II 或 III 型单阿贝尔簇之积是无条件的。此外，基于 Serre、Pink、Banaszak、Gajda 与 Krasoń 的工作，我们还证明了 Lefschetz 型阿贝尔簇若干新情形下的 Mumford-Tate 猜想。