具有最大渐近优值因子的类 Rudin-Shapiro 序列

Borwein 和 Mossinghoff 研究了类 Rudin-Shapiro 序列，其为通常表示为多项式的二元序列无穷族。每个类 Rudin-Shapiro 序列族由一起始序列（我们称为种子）通过递归构造获得，该构造在每一步将序列长度加倍，且以此方式生成的许多序列具有极低的非周期自相关。Borwein 和 Mossinghoff 证明，任一此类族的渐近自相关优值因子至多为 $3$，并找到了长度不超过 $40$ 的产生最大渐近优值因子 $3$ 的种子。类 Rudin-Shapiro 序列的定义被 Katz、Lee 和 Trunov 推广到包含具有任意复系数的序列，其中有低自相关多相序列族。Katz、Lee 和 Trunov 证明在此更大类中最大渐近优值因子亦为 $3$。本文我们证明，此类类 Rudin-Shapiro 序列族达到渐近优值因子 $3$ 当且仅当种子长度为 $1$ 或是 Golay 互补序列对的交错。对于不可能如此的小种子长度，最优种子是尽可能接近互补对的对的交错，且“几乎互补对”的概念解释了先前未解释的二元类 Rudin-Shapiro 序列最优种子数据中的显著模式。