基于 $F$-最小化的稀疏恢复鲁棒性：拓扑视角

压缩感知领域的一个近期趋势是考虑用于稀疏恢复的非凸优化技术。$F$-最小化这一重要情形已引起特别关注，在无噪声设定下，其精确重构条件 (ERC) 可以通过零空间性质 (NSP) 精确刻画。然而，关于其在有噪声设定下的鲁棒重构条件 (RRC) 的工作却很少。我们将测量矩阵的零空间视为 Grassmann 流形上的一个点，然后研究分别记为 $\Omega_J$ 和 $\Omega_J^r$ 的 ERC 与 RRC 集合之间的关系。结果表明 $\Omega_J^r$ 是 $\Omega_J$ 的内部，由此可轻易推导出先前关于 $\ell_p$-最小化的 ERC 与 RRC 等价性的结果作为一个特例。此外，当 $F$ 非递减时，证明了 $\overline{\Omega}_J\setminus\interior(\Omega_J)$ 是一个测度为零的第一纲集。因此，如果测量矩阵 $\mathbf{A}$ 是根据连续分布随机生成的，则 ERC 和 RRC 的概率是相同的。定量地看，如果零空间 $\mathcal{N}(\bf A)$ 位于 $\Omega_J$ 的“$d$-内部”，则 RRC 将以鲁棒性常数 $C=\frac{2+2d}{d\sigma_{\min}(\mathbf{A}^{\top})}$ 被满足；反之，如果 RRC 以 $C=\frac{2-2d}{d\sigma_{\max}(\mathbf{A}^{\top})}$ 成立，则 $\mathcal{N}(\bf A)$ 必位于 $\Omega_J$ 的 $d$-内部。我们还提出了几条比较不同代价函数性能的规则。最后，利用 Gordon 穿网定理或 NSP 与约束特征值条件之间的联系，将这些结果用于推导测量率与鲁棒性之间可达的折中关系。