Vanishing Bach-like 张量下梯度收缩 Ricci 固形子的刚性及相关变分公式

经典的四维 Bach 张量可表示为两个独立、对称、无散、二次曲率张量 U 和 V 的线性组合。已在 Bach 张量为零的假设下获得了若干关于梯度收缩 Ricci 固形子的分类结果。我们定义 Bach-like 张量为 U 和 V 的其他线性组合。我们证明，在特定参数锥内，Bach-like 张量的消失导致四维完整梯度收缩 Ricci 固形子要么是 Einstein 浓缩，要么等距于高斯固形子，从而扩展了 Cao-Chen (2013) 的结果。特殊情况下当 U=0 时，$f_{\min}\in\{0,1,2\}$，当 $f_{\min}=0,2$ 时刚性成立。剩余情况 $f_{\min}=1$ 是中心性开放问题， cylinder 作为 conjectured 例外几何。最后，我们表明 Bach-like 张量是二维参数曲率函数变分方程的 Euler-Lagrange 方程，并计算了相应的第一和第二变分公式。