Hermitian 流形上的 Ricci 曲率

本文引入了复流形的第一 Aeppli-Chern 类，并证明了反典范线丛上 Levi-Civita 联络的曲率 $2$-形式的 $(1,1)$-分量代表了该类。我们系统地研究了 Hermitian 流形上的各种 Ricci 曲率与背景 Riemannian 流形之间的关系。此外，我们利用第一 Aeppli-Chern 类和 Levi-Civita Ricci 平坦度量研究了非 Kähler Calabi-Yau 流形。特别是，我们在 Hopf 流形 $S^{2n-1}\times S^1$ 上构造了显式的 Levi-Civita Ricci 平坦度量。我们还在紧致 Hermitian 流形上构造了一族光滑的 Gauduchon 度量，使得这些度量属于同一个第一 Aeppli-Chern 类，且它们的第一 Chern-Ricci 曲率相同且非负，但它们的 Riemannian 标量曲率为常数并在负无穷到一个正数之间光滑变化。特别是，这表明具有非负第一 Chern 类的 Hermitian 流形可以容许具有严格负 Riemannian 标量曲率的 Hermitian 度量。