Rho-类、指标理论与 Stolz 正标量曲率序列
摘要
本文利用粗几何（coarse geometry）方法研究正标量曲率度量空间。给定一个基本群为 G 的闭自旋流形 M，Stephan Stolz 引入了正标量曲率正合序列，类比于拓扑学中的手术正合序列。该序列利用 BG 的自旋配边和一个略显神秘的群 R(G) 来计算 M 上正标量曲率度量的结构群（即我们要理解的对象）。Higson 和 Roe 在粗几何中引入了一个包含 Baum-Connes 组装映射的 K-理论正合序列，其中一项关键项是与 G 规范关联的 K(D*G)。所涉及的 K-理论群是有趣指标不变量和次级不变量的所在，特别是自旋流形上正标量曲率度量的 rho-类（位于 K_*(D*G) 中）。我们的主要成果之一是构建了一个从 Stolz 正合序列到 Higson-Roe 正合序列的映射（与所有箭头交换），全程使用粗指标理论。我们的主要工具是两个指标定理，我们认为它们具有独立意义。第一个是 Atiyah-Patodi-Singer 类型的指标定理。在此，假设 Y 是一个带边界的紧致自旋流形，具有黎曼度量 g，该度量限制在边界上时具有正标量曲率（且基本群为 G）。由于边界上的 Dirac 算子是可逆的，人们在 K_* (D*G) 中构造了一个离域 APS-指标。随后我们证明该类等于边界的 rho-类。第二个定理将正标量曲率度量的分割流形 rho-类等同于分割超曲面的 rho-类。
引用
@article{arxiv.1210.6892,
title = {Rho-classes, index theory and Stolz' positive scalar curvature sequence},
author = {Paolo Piazza and Thomas Schick},
journal= {arXiv preprint arXiv:1210.6892},
year = {2015}
}
备注
39 pages. v2: final version, to appear in Journal of Topology. Added more details and restructured the proofs, correction of a couple of errors. v3: correction after final publication of a (minor) technical glitch in the definition of the rho-invariant on p6. The JTop version is not corrected