正标量曲率配边范畴

我们证明许多正标量曲率度量的空间具有无穷环空间同伦型。我们的结果尤其适用于当 $d \geq 6$ 时 $\mathcal{R}^+ (S^d)$ 内_round度量_的路径连通分支。为实现该目标，我们研究具有正标量曲率的流形配边范畴。在适当的连通性条件下，我们可将从psc配边范畴到普通配边范畴的遗忘映射的同伦纤维识别为psc度量空间的一个 delooping。这使用了Quillen定理B的一个版本以及Gromov--Lawson手术定理的实例。我们将Galatius与第二作者的一些手术论证扩展至psc情形，以在不同连通性条件间转换。随后使用Segal的 $\Gamma$-空间理论构造所宣称的无穷环空间结构。配边范畴观点也阐明了微分同胚群在psc度量空间上的作用。我们表明在流形上的温和假设下，从微分同胚群到psc度量空间同伦自同构的作用映射经过Madsen--Tillmann谱。当流形具有平凡有理Pontrjagin类时，这蕴含了该作用映射的一个强刚性定理。第一作者证明的Atiyah--Singer指标定理的delooped版本还被用于进一步表明到实 $K$-理论的次级指标不变量是一个无穷环映射。这些思想也给出了我们与Botvinnik先前工作主要结果的新证明。