正数量曲率中的配边与指标理论

我们将通过块微分同胚研究微分同胚的策略应用于正数量曲率（psc）度量之中。对于每个闭 psc 流形 $M$，我们构造了所有 psc 块度量的立方集 $\widetilde{\mathcal{R}^{+}_{\bullet}}(M)$，其同伦型仅编码 psc 度量之间的配边信息。我们证明 $\widetilde{\mathcal{R}^{+}_{\bullet}}(M)$ 是一个立方 Kan 集，给出了组合同伦群群结构的几何描述，并构造了从 $M$ 上 psc 度量空间立方模型 $\mathcal{R}^+_{\bullet}(M)$ 到 $\widetilde{\mathcal{R}^{+}_{\bullet}}(M)$ 的比较映射。接下来，我们基于可逆块 Dirac 算子的概念建立了一个以配边为主题的实 $K$-理论模型，并用它将指标差分解为通过 $\widetilde{\mathcal{R}^{+}_{\bullet}}(M)$ 的形式。在本论文的最后部分，我们构造了 psc Hatcher 谱序列，这是一种非指标理论工具，用于获取 $\mathcal{R}^+_{\bullet}(M)$ 与 $\widetilde{\mathcal{R}^{+}_{\bullet}}(M)$ 差异的信息。