$\kappa$-类的球面性及通过块丛的正曲率

给定一个单连通流形 $M$，我们完全确定了哪些有理单项式 Pontryagin 数可由 $k$-球面之上的纤维同伦平凡 $M$-丛实现，前提是 $k$ 相对于 $M$ 的维数较小。此外我们研究了由此类丛表示的有理配边类的向量空间。我们给出了其维数的上下界，并构造了达到这些界的流形。证明基于通过块丛与 surgery 理论研究微分同胚群的传统方法，且我们利用了 Krannich--Kupers--Randal-Williams 发展的思想。作为一个应用，我们展示了在正 Ricci 曲率与正截面曲率空间同伦群中无穷阶元素的存在性，前提是 $M$ 为自旋、具有非平凡有理 Pontryagin 类且容许此类度量。这是通过构造具有非消失 $\hat{A}$-亏格的球面之上 $M$-丛完成的。此外，我们给出了球面之上纤维同伦平凡丛的广义 Morita--Miller--Mumford 类的消没定理。在由 Jens Reinhold 合著的附录中，（部分）确定了有理定向配边环的哪些类包含一个在给定维数球面上纤维化的元素。