$\mathbb{P}^3$ 上稳定秩 2 向量丛的有理模分量系列

我们研究了射影 3 维空间上第一陈类 $e=0$ 或 -1 且第二陈类 $n$ 取所有可能值的秩 2 稳定向量丛的 Gieseker-Maruyama 模空间 $M(e,n)$ 的一个无限系列分量（即所谓的 Ein 分量）的有理性问题。构成这些分量开稠密子集的广义零相关丛被定义为单项式的上同调丛，这些单项式的成员是度数取决于非负整数 $a,b,c$ 的线丛的直和，其中 $b\ge a$ 且 $c>a+b$。我们证明，在 $c>2a+b-e,\ b>a,\ (e,a)\ne(0,0)$ 的较大范围内，Ein 分量是有理的，而在其余情况下它们至少是稳定有理的。作为推论，对于 $e=0$ 和 $e=-1$，所有 $n\ge1$ 的空间 $M(e,n)$ 的并集包含一个无限的有理分量系列。给出了在上述 $e,a,b,c$ 条件下 Ein 分量有理性的显式构造，以及分别在剩余情况下其稳定有理性的显式构造。在有理的情况下，我们在 Ein 分量的某些开子集上构造了广义零相关丛的泛族，表明这些子集是精细模空间。作为我们构造的副产品，对于 $c_1=0$ 且 $n$ 为偶数的情况，它们提供了可能是首批已知的不满足“$n$ 为奇数”这一精细性通常充分条件的精细模空间实例。