无限网络的电阻边界

电阻网络是一个连通图$(G,c)$。电导函数$c_{xy}$对边进行加权，这些边被解释为可能具有不同强度的导体。狄利克雷能量形式$\mathcal E$在有限能量函数空间上产生一个希尔伯特空间结构${\mathcal H}_{\mathcal E}$。自然狄利克雷形式$\mathcal E$与有限网络上的离散拉普拉斯算子$\Delta$之间的关系由$\mathcal E(u,v) = \la u, \Lap v\ra_2$给出，其中后者是通常的$\ell^2$内积。我们描述了$\mathcal E$的一个再生核$\{v_x\}$，并用它将离散高斯-格林恒等式推广到无限网络：$${\mathcal E}(u,v) = \sum_{G} u \Delta v + \sum_{\operatorname{bd}G} u \tfrac{\partial}{\partial \mathbf{n}} v,$$ 其中后一个和是在极限意义下理解的，类似于黎曼和。该公式立即给出了有限能量调和函数的边界和表示。随机积分技术使得边界$\operatorname{bd}G$可以精确地作为一个测度空间，并给出一个边界积分表示（在类似于泊松或马丁边界理论的意义上）。这是通过一个盖尔范德三元组$S \ci {\mathcal H}_{\mathcal E} \ci S'$实现的，并给出了一个概率测度$\mathbb{P}$和${\mathcal H}_{\mathcal E}$到$L^2(S',\mathbb{P})$的等距嵌入，从而将边界具体表示为$S$上的一组线性泛函。