网络拉普拉斯算子的自伴扩张及其在阻力度量中的应用

设 $(G,c)$ 为无限网络，$\mathcal{E}$ 为典范能量形式。设 $\Delta_2$ 为在 $\ell^2(G)$ 中具有稠密定义域的拉普拉斯算子，设 $\Delta_{\mathcal{E}}$ 为在 $G$ 上有限能量函数的希尔伯特空间 $\mathcal{H}_\mathcal{E}$ 中具有稠密定义域的拉普拉斯算子。已知 $\Delta_2$ 是本质自伴的，但 $\Delta_{\mathcal{E}}$ 则\emph{不是}。在本文中，我们用 $\Delta_2$ 刻画了 $\Delta_{\mathcal{E}}$ 的 Friedrichs 扩张，并证明了在 $\lambda=0$ 的补集中，这两个算子的谱测度是互为绝对连续的，其 Radon-Nikodym 导数为 $\lambda$（谱参数）。我们还给出了对 $(G,c)$ 上有效阻力的应用。对于暂态网络，$\lambda = 0$ 处的狄拉克测度对 $\Delta_{\mathcal{E}}$ 的 Friedrichs 扩张的谱分解有贡献，但对自伴的 $\ell^2$ 拉普拉斯算子的谱分解没有贡献。