有限能量与耗散空间中的拉普拉斯算子

近期大型网络模型在机器学习与神经网络中的应用提示我们需要对一般对应关系统一研究：(i) 离散与 (ii) 连续。即便起点是 (i)，极限考量会导向 (ii)，或更精确地，导向我们在此明确的测度论框架。我们的动机源于图分析，例如对（无限）电阻网络的研究，但焦点将置于 (ii)，即测度论设定。在电阻网络中，人们考虑成对（通常可数无限）的集合 $V$（顶点）、$E$（边）为 $V \times V$ 的合适子集，以及 $E$ 上给定的正对称函数 $c$。电导函数 $c$ 定义于 $E$（边）或 $V \times V$ 上，但以 $E$ 为支撑。从初始三元组 $(V, E, c)$ 出发，可得图拉普拉斯算子、广义狄利克雷空间（亦称能量希尔伯特空间）、偶极子、相对再生核理论、耗散空间、可逆马尔可夫链等。我们的主要结果包括：测度论图拉普拉斯算子的谱理论与格林函数；与拉普拉斯算子相关的再生核希尔伯特空间理论；博雷尔等价关系上拉普拉斯算子的严格分析；一种新的分解理论；不可约判据；由自同态与可测场支配的动力系统；轨道等价判据；以及路径空间测度与诱导的耗散希尔伯特空间。我们考虑了结果在机器学习问题、再生核希尔伯特空间、高斯与行列式过程、联结（joinings）等其他领域的若干应用。