有效电阻度量的希尔伯特空间方法

电阻网络是一个连通图$(G,c)$。电导函数$c_{xy}$对边进行加权，这些边随后被解释为可能具有不同强度的导体。狄利克雷能量形式$\mathcal E$在有限能量函数空间上产生一个希尔伯特空间结构（我们称之为能量空间${\mathcal H}_{\mathcal E}$）。我们使用文献[DGG]中构造的再生核$\{v_x\}$来分析有效电阻$R$，这是此类网络的自然度量。已知当$(G,c)$支持非常数的有限能量调和函数时，有效电阻度量不是唯一的。$R(x,y)$的两个最自然的选择是“自由电阻”$R^F$和“有线电阻”$R^W$。我们根据函数$v_x$（及其某些投影）定义$R^F$和$R^W$。这提供了一种将$R^F$和$R^W$表示为某些算子范数的方法，并根据诺伊曼边界条件与狄利克雷边界条件解释$R^F \neq R^W$。我们证明度量空间$(G,R^F)$等距嵌入到${\mathcal H}_{\mathcal E}$中，而度量空间$(G,R^W)$等距嵌入到有限支撑函数空间的闭包中，该闭包是${\mathcal H}_{\mathcal E}$的一个子空间。通常，$R^F$和$R^W$是通过对有限子网络的限制取极限来计算的。第三种表述$R^{tr}$是根据狄利克雷形式$\mathcal E$在有限子网络上的迹给出的。概率方法表明，在极限情况下，$R^{tr}$与$R^F$一致。这提示了$R^F$与$R^W$的概率解释之间的比较。