与局部有限有根有向树相关联的 Dirichlet 空间

设 $\mathscr T=(V, \mathcal E)$ 为一个无叶、局部有限的有根有向树。我们将其与一族单参数 Dirichlet 空间 $\mathscr H_q~(q \geqslant 1)$ 相关联，这些空间可证明是定义于复平面中单位圆盘 $\mathbb D$ 上的向量值全纯函数的 Hilbert 空间。这些空间可实现为与正定核相关联的再生核 Hilbert 空间 \begin{eqnarray*} \kappa_{\mathscr H_q}(z, w) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1)_n}{(q)_n}\,{z^n \overline{w}^n} ~P_{\langle e_{\mathsf{root}}\rangle} + \sum_{v \in V_{\prec}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n_v +2)_n}{(n_v + q+1)_n}\, {z^n \overline{w}^n}~P_{v}~(z, w \in \mathbb D), \end{eqnarray*} 其中 $V_{\prec}$ 表示 $\mathscr T$ 的分支顶点集，$n_v$ 表示 $v \in V$ 在 $\mathscr T$ 中的深度，且 $P_{\langle e_{\mathsf{root}}\rangle}$、 $~P_{v}~(v \in V_{\prec})$ 是某些正交投影。我们还讨论了在 $\mathscr H_q$ 上由 $z$ 乘实现的算子 $\mathscr M_{z, q}$ 的一些结构性质。此外，我们讨论了分别在对应于有向树 $\mathscr T_1$ 和 $\mathscr T_2$ 的 Dirichlet 空间 $\mathscr H_q$ 上由 $z$ 乘实现的算子 $\mathscr M^{(1)}_z$ 和 $\mathscr M^{(2)}_z$ 的酉等价问题。