与某些有向图相关的Drury-Arveson型希尔伯特模的分类

给定具有有限联合分支指标的局部有限、无叶、有根有向树 $\mathscr T_1, \ldots, \mathscr T_d$ 的有向笛卡尔积 $\mathscr T$，可将 $\mathscr T$ 与定义在 $\mathbb C^d$ 中开单位球 $\mathbb B^d$ 上的向量值全纯函数的 Drury-Arveson 型 $\mathbb C[z_1, \ldots, z_d]$-希尔伯特模 $\mathscr H_{\mathfrak c_a}(\mathscr T)$ 相关联，其中 $a >0.$ 若所考虑的所有有向树均无分支顶点，则 $\mathscr H_{\mathfrak c_a}(\mathscr T)$ 恰为与定义在 $\mathbb B^d$ 上的再生核 $\frac{1}{(1 - \langle{z}, {w}\rangle)^a}$ 相关联的经典 Drury-Arveson 型希尔伯特模 $\mathscr H_{a}$。与 $d=1$ 的情形不同，若放宽 $\mathscr T$ 具有有限联合分支指标的假设，上述关联不会产生再生核希尔伯特模。本文的主要结果对当 $a$ 为正整数时其希尔伯特模 $\mathscr H_{\mathfrak c_a}(\mathscr T)$ 同构的所有有向笛卡尔积 $\mathscr T$ 进行了分类。建立该同构所使用的基本工具之一是由 $\mathscr H_{\mathfrak c_a}(\mathscr T)$ 引出的算子值表示测度。进一步，对这些希尔伯特模的细致分析使我们能够证明：在 $ad \neq 1$ 的条件下，$\mathscr T_1, \ldots, \mathscr T_d$ 的第 $k^{\tiny \mbox{th}}$ 代（$k =0, 1, \ldots$）的基数构成 $\mathscr H_{\mathfrak c_a}(\cdot)$ 的完整不变量。当 $ad =1$ 时该结论不成立，可归因于等距的冯·诺依曼-沃尔德分解。在此过程中，我们将 $\mathscr H_{\mathfrak c_a}(\mathscr T)$ 上乘法 $d$-元组 $\mathscr M_{z}$ 的联合余核 $E$ 辨识为某些超平面的张量积的正交直和。