伪距离正则电阻网络中有效电阻的评估

文献 [1] 和 [2] 研究了距离正则网络上有效电阻的计算，其中第一篇论文基于网络的分层结构及与之关联的 Stieltjes 函数进行计算，而第二篇论文则基于 Christoffel-Darboux 恒等式给出了有效电阻的递推公式。本文研究了更为一般的网络（称为伪距离正则网络 [21] 或 QD 型网络 \cite{obata}）上有效电阻的评估。我们利用这些网络的分层结构，证明了给定节点 $\alpha$ 与相对于 $\alpha$ 属于同一层的所有节点 $\beta$ 之间的有效电阻（记为 $R_{\alpha\beta^{(m)}}$，其中 $\beta$ 属于相对于 $\alpha$ 的第 $m$ 层）是相同的。随后，基于谱技术，我们给出了有效电阻 $R_{\alpha\beta^{(m)}}$ 的解析公式，该公式适用于满足 $L^{-1}_{\alpha\alpha}=L^{-1}_{\beta\beta}$ 的节点 $\alpha$ 和 $\beta$（即网络相对于这些节点对称），公式用与该网络关联的第一和第二正交多项式表示，其中 $L^{-1}$ 是网络拉普拉斯算子的伪逆。鉴于在距离正则网络中，所有节点 $\alpha,\beta$ 均满足 $L^{-1}_{\alpha\alpha}=L^{-1}_{\beta\beta}$，利用所给公式可直接计算出 $m=1,2,...,d$（$d$ 为网络直径，等于层数）时的有效电阻 $R_{\alpha\beta^{(m)}}$。