结合方案底层网络上的有效电阻计算

最近，文献\cite{jsj}和\cite{res2}研究了距离正则网络上有效电阻的计算，其中第一篇论文的计算基于与网络相关的分层和 Stieltjes 函数，而后者则基于 Christoffel-Darboux 恒等式给出了有效电阻的递推公式。在本文中，我们考虑在更一般的网络（即结合方案的底层网络）上评估有效电阻，利用结合方案的代数组合结构（如分层和 Bose-Mesner 代数），给出了这些网络上有效电阻的显式公式，该公式用相应结合方案的参数表示。此外，我们证明了对于直径为$d$的特定结合方案底层网络，如果其邻接矩阵$A$具有$d+1$个不同的特征值，则所有其他邻接矩阵$A_i$（$i\neq 0,1$）都可以写成$A$的多项式，即$A_i=P_i(A)$，其中$P_i$的次数不必为$i$。然后，我们对这些特定网络利用该性质，并假设除其中一个电导（记为$c\equiv c_1=1$）外，所有其他电导均为零，从而给出了评估这些网络上有效电阻的步骤。该步骤的优点是，人们可以利用其 Bose-Mesner 代数的结构来评估有效电阻，而无需知道邻接矩阵的谱。