电阻网络的算子理论

电阻网络是一个具有内蕴（电阻）度量R的加权图(G,c)。我们将电阻网络嵌入到有限能量函数的Hilbert空间H_E中。我们利用电阻度量研究H_E，反之亦然，并证明顶点{v_x}的嵌入像构成该Hilbert空间的再生核。我们还得到了电阻网络的Gauss-Green公式的离散版本，并证明支持有限能量非常数调和函数的电阻网络具有某种类型的边界。我们在类似于Poisson或Martin边界表示的意义下，但具有不同假设且针对不同函数类，获得了有限能量调和函数的解析边界表示。在此过程中，我们构造了有限能量"光滑"函数的稠密空间，并获得了H_E的Gel'fand三元组。这使得我们可以将电阻网络表示为以顶点为指标的高斯随机变量系统。我们还研究了Δ在H_E上的谱表示，并展示了非零缺陷如何导致非平凡边界。上述所有内容均可通过H_E的算子理论而非ℓ²来探测。我们的结果适用于各向同性铁磁体的Heisenberg模型，改进了R. T. Powers关于长程有序问题的早期结果（参考该模型C*-代数上的KMS态）。