无限网络与离散拉普拉斯算子中电导函数的变化

对于给定的无限连通图 $G=(V,E)$ 和任意但固定的电导函数 $c$，我们研究相关的图拉普拉斯算子 $\Delta_{c}$；它是一个广义差分算子，其中差分是在 $G$ 中的边 $E$ 上测量的，而电导函数 $c$ 代表相应的系数。图拉普拉斯算子（研究无限网络的关键工具）作用于由 $c$ 计算得出的能量 Hilbert 空间 $\mathscr{H}_{E}$ 中。利用特定的 Parseval 框架，我们研究了图拉普拉斯算子的谱理论性质。事实上，对于固定的 $c$，图拉普拉斯算子有两个版本，一个自然地定义在 $V$ 的 $l^{2}$ 空间中，另一个定义在 $\mathscr{H}_{E}$ 中。第一个自动是自伴的，但第二个涉及 Krein 延拓。我们证明，作为集合，这两个谱是相同的，除了点 0。点 0 可能在第二个谱中，但不在第一个谱中。我们进一步研究了当电导函数变化时各自谱的精细结构，展示了谱如何随函数 $c$ 的变化而变化。