关于三次超曲面 $\mathrm{CH}_2$ 的注记

本文提出了两种方法，将光滑三次超曲面 $X$（定义在特征不为 2 的代数闭域上）上的 $2$-循环问题，归约为其直线簇 $F(X)$ 上 $1$-循环问题。第一种方法依赖于 $X$ 的双切线和 Tsen-Lang 定理。它允许证明 $\mathrm{CH}_2(X)$ 由 $\mathrm{CH}_1(F(X))$ 通过 $F(X)$ 上通用 $\mathbb P^1$-丛的作用生成。当基域特征为 $0$ 时，我们利用该结果证明：若 $\dim(X)\geq 7$，则 $\mathrm{CH}_2(X)$ 由 $X$ 中所含平面的类生成；若 $\dim(X)\geq 9$，则 $\mathrm{CH}_2(X)\simeq \mathbb Z$。Pan 已获得类似结果，但界稍弱。第二种方法是将 Shen 在 $X$ 上曲线情况下发展的一个反演公式，推广到 $X$ 的更高维子簇。该反演公式允许将 $\mathrm{CH}_2(X)$ 中的挠循环提升到 $\mathrm{CH}_1(F(X))$ 中的挠循环。对于复数三次 $5$-维簇，这允许证明：由阿贝尔-雅可比态射消去的同调平凡、挠余维数 $3$ 循环群 $\mathrm{CH}^3(X)_{\mathrm{tors,AJ}}$ 给出的双有理不变量，受 $\mathrm{CH}_1(F(X))_{\mathrm{tors,AJ}}$ 群控制，后者是 $F(X)$ 的双有理不变量，对于 Fano 簇可能总是平凡的。