两个正交投影的自伴多项式矩之间的关系

给定非交换迹概率空间中的两个正交投影 $\{P,Q\}$，我们证明了 $P+Q$、$\sqrt{-1}(PQ-QP)$ 和 $P+QPQ$ 的矩与角算符 $PQP$ 的矩之间的关系。我们的证明是纯代数和计数的，不假设 $P,Q$ 满足 Voiculescu 自由性性质或处于一般位置。就和与对易子而言，所获得的关系源于与 $P$ 和 $Q$ 相关的正交对称性所满足的二项式型公式以及迹性质。在这方面，它们推广了其中一个投影被自由 Haar 酉算符或更一般地被自由酉布朗运动旋转时的对应情形。至于算符 $P+QPQ$，我们推导了其矩展开为 $PQP$ 矩的线性组合时系数（双序列）的自治递推关系，并显式确定了其中少数几个。这些关系是在仔细分析字母表 $\{P, QPQ\}$ 中词的结构后得到的。我们在文末探讨了先前结果与所谓 Kato 对偶对的联系，由此导出了它们矩所满足的新恒等式。