奇异全纯叶状结构上叶状 Poincaré 度量的正则性

设 $\mathcal F$ 为 $M \setminus E$ 上的光滑黎曼面叶状结构，其中 $M$ 为复流形，奇异集 $E \subset M$ 为余维数至少为二的解析集。在 $M$ 上取一厄米度量，并假设 $\mathcal F$ 的所有叶均为双曲的。Verjovsky 的一致化模 $\eta$ 是定义在 $M \setminus E$ 上的正实数值函数，由从单位圆盘 $\mathbb D$ 到 $\mathcal F$ 的叶的全纯映射族给出，并度量此类映射类中可能的最大导数。已知多种保证 $\eta$ 在 $M \setminus E$ 上连续的条件。此处处理的主要问题是其在 $E$ 的点处的连续性。为此，我们将 Whitney 关于解析集的 $C_4$-切锥构造适配到叶状结构的情形，并用以定义 $\mathcal F$ 在 $E$ 的点处的切锥。这导出了在 $E$ 的点处为{\it 横截型}的叶状结构的定义。我们证明，若 $\eta$ 在 $M \setminus E$ 上连续且 $\mathcal F$ 为横截型，则此类叶状结构所关联的映射 $\eta$ 在 $E$ 处连续。我们还给出了关于 $\eta$ 不连续点集的观察。最后，对区域 $U \subset M$，考虑 $\mathcal F$ 在 $U$ 上的限制 $\mathcal F_U$ 及相应的正函数 $\eta_U$。利用横截性假设可得到 Lins Neto--Martins 关于变差 $U \mapsto \eta_U$ 结果的加强版本。